回答から申し上げますと「明確な基準は無い」です。なので単に名称の違いということになります。しいてあげるなら、マンションは3階建て以上の木造以外の建物という事になるでしょうか。まあ3階建て軽量鉄骨のアパートもありますが。。。(例:レ〇〇レス)
『コーポ 』や『ハイツ 』という名称もありますが、ほとんどが「アパート」という名称よりも、借りる方に良い印象を与えるだろうという理由で使われているようです。前述の通り明確に区別されてないので、アパート・コーポ・ハイツは同じと考えて問題ありません。また、不動産屋の側も大まかな基準で決めているようです。
賃貸契約であれば(契約するうえで)アパートだろうがマンションだろうが変わらない為。ただ個人の住宅用と事務所などテナント用という線引きはあるようです。(消費税の関係やその他の法令などの関係で)ちなみにうp主の部屋は3階建てで1階と2階がテナント(店舗や事務所)3階に居住用の部屋があるというなんだかよく分からない物件に住んでいますので。。。